Grados y radianes


Grados y radianes

-Para pasar grados a radianes, multiplica por (¶/180)
Ej: 60º a radianes → 60 * /(¶/180) = ¶/3

-Para pasar radianes a grados,multiplica por (180/¶)
Ej: ¶/4 a grados →( ¶/4 ) * (180/¶) = 45º

Unidades angulares: grados y radianes.

Comenzamos con la definición de las unidades angulares más conocidas: grados $ (^\circ) $, minutos (') y segundos
(").Estas unidades son sexagesimales; cada unidad contiene 60 subunidades, por ejemplo: 1 minuto contiene 60 segundos. El sistema establecido en las mediciones de longitud es decimal, 1 metro contiene 10 decímetros, un decímetro 10 centímetros,...
El sistema sexagesimal nació en Babilonia, donde se usó en las mediciones astronómicas que, en ese tiempo, consistían en determinar las posiciones de los planetas y estrellas más brillantes con el objeto de establecer un calendario y predecir eclipses, entre otros fines.
Los grados, minutos, segundos están definidos a partir de una división en partes iguales, de la longitud de una circunferencia.
Las equivalencias son las siguientes:


\begin{displaymath}\begin{array}{rll}360^\circ &\equiv & \mbox{ un giro com......ox{ de vuelta alrededor de una circunferencia.}\end{array}\end{displaymath}
En toda definición de unidades, existe un grado de arbitrariedad. En física, la usamos para redefinir esta unidad con una orientación geométrica, acorde con nuestros intereses.

Figura: En la Figura se muestra la medida de diversos ángulos como $180^\circ, 90^\circ , 45^\circ ,$ y otros. Se define además, el sentido positivo y negativo de un ángulo.
El nombre de esta nueva unidad angular, que definimos a continuación, es radián.
Definición de Radián
La magnitud de un ángulo medido en radianes está dada por la longitud del arco de circunferencia que subtiende, dividida por el valor del radio de la circunferencia.
Esta definición de radián es independiente del radio de la circunferencia. (Si divide una pizza en diez partes iguales, el ángulo central que subtiende cada pedazo es el mismo, cualquiera sea el tamaño de la pizza).
La longitud de la circunferencia de un círculo unitario es $(2 \pi \cdot 1)$. De acuerdo a la definición anterior, el ángulo central que subtiende dicho arco es 2$\pi$ radianes.
Esta nueva definición tiene una gran ventaja: al multiplicar el ángulo central (medido en radianes) por el radio de la circunferencia, automáticamente se obtiene la longitud del arco subtendido por dicho ángulo.
\begin{displaymath}\mbox{Longitud del arco de} \bigodot\,=\, [\mbox{Angulosubtendido (en radianes)}] \times [\mbox{Radio de la} \bigodot].\end{displaymath}
Si medimos el ángulo subtendido en grados, no obtendremos una igualdad: el largo de una circunferencia es $2\, \pi\, r$ y el ángulo central que subtiende toda la circunferencia es 360$^{\circ}$. Este ejemplo define la nueva unidad angular que denominamos radián:
\begin{displaymath}360^{\circ} = 2\, \pi = 6,28318...\qquad \mbox{ radianes}.\end{displaymath}
La equivalencia con los grados es:
\begin{displaymath}1\,\, \mbox{radi\'an}\quad = \frac{360^{\circ} }{ 2\,\pi} = 57,29^\circ ,\end{displaymath}

 
$\textstyle \parbox{6.8truecm}{a partir de esta equivalencia podemos obtener ......\pi /6) $\ radianes, \par$ 60^\circ $\ equivalen a $ (\pi /3) $\ radianes.}$
Esta unidad angular es la más usada en física.
Ejercicio
Encuentre, numéricamente, el valor de $sen\,\alpha$ para $\alpha = 0,05$ radianes, de acuerdo a la serie definida con este nombre en la sección anterior. ¿Cuál es el valor de $\alpha$ en grados? ¿Cuál es el error cometido al aproximar $sen \,\alpha \approx \alpha$? (Sume tres términos de la serie y compare la diferencia).$\Box$
 

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